考研备考日记：3月数学教材复习，啃下高数“极限”硬骨头 订阅+ 进入阅读模式

2025年3月12日 周三 晴

3月数学复习进入高等数学的核心章节——极限，这部分是高数的基础，也是真题中的高频考点，但教材里的定义和定理太抽象，刚开始看的时候完全摸不着头脑，比如“ε-δ语言”，反复看了3遍还是没理解，课后习题更是一道都做不出来，一度想跳过直接看复习全书。

冷静下来后，我决定先从“拆解考点”入手：对照考研数学大纲，把极限章节的考点分成“数列极限”“函数极限”“极限的应用（连续性、间断点）”三大类，每类再细分具体知识点。比如函数极限，重点掌握“等价无穷小替换”“洛必达法则”“泰勒公式”三种计算方法，以及“左右极限判断”的适用场景。

针对每个考点，我从教材中挑选3-5道典型例题，先自己尝试做，做错或不会做的话，再对照教材解析一步步拆解思路：第一步分析题干给出的条件，判断属于哪种极限类型；第二步确定适用的计算方法，比如遇到“0/0型”或“∞/∞型”，优先考虑等价无穷小替换，替换后仍无法计算再用洛必达法则；第三步检查计算过程中是否有疏漏，比如等价无穷小替换的适用条件、洛必达法则的使用前提。

以“等价无穷小替换”为例，教材里的例题“lim(x→0) (sinx - x)/x³”，刚开始直接用sinx~x替换，结果得到0，但正确答案是-1/6。后来才发现，等价无穷小替换仅适用于“乘积或商”的形式，“加减”形式下替换会出错，这时候需要用泰勒公式展开sinx = x - x³/6 + o(x³)，代入后才能算出正确结果。把这个易错点记在错题本上，后续遇到类似题目就不会再犯同样的错误。

经过一周的针对性复习，现在已经能独立完成教材中80%的极限习题，对“ε-δ语言”也通过“图形辅助理解”的方式搞懂了——画一条数轴，把极限定义中的“ε”看作“误差范围”，“δ”看作“x与x0的距离限制”，只要x在x0的δ邻域内，f(x)就落在A的ε邻域内，抽象的定义瞬间变得直观。3月剩下的时间，计划继续推进高数的“导数与微分”章节，按同样的方法拆解考点、整理例题，打好数学基础。