考研数学高数高频考点：导数应用（单调性、极值与切线） 订阅+ 进入阅读模式

“导数应用”是考研数学高数的“核心得分点”，每年真题必考（数学一/二/三均考），题型包括“选择题（4分）+填空题（4分）+大题（10分）”，总分值15-18分。该考点围绕“导数的几何意义”（切线/法线）和“导数的性质”（单调性、极值、凹凸性）展开，方法固定，只要掌握标准流程，即可高效得分。

一、4步判定函数单调性（真题常考单调区间求解）

函数单调性的核心：若f(x)在区间I内可导，则①f’(x)＞0 ⇒ f(x)在I内单调递增；②f’(x)＜0 ⇒ f(x)在I内单调递减；③f’(x)=0的点为“驻点”，可能是单调区间的分界点。

4步判定流程：

1. 求定义域：确定f(x)的定义域（如f(x)=lnx的定义域为(0,+∞)），避免后续分析超出定义域。

2. 求导数f’(x)：计算一阶导数，化简并因式分解（便于找驻点）。例如f(x)=x³ - 3x² + 2，f’(x)=3x² - 6x=3x(x - 2)。

3. 找驻点与不可导点：①驻点：令f’(x)=0，解方程得x值（如上述f’(x)=0得x=0和x=2）；②不可导点：f(x)在定义域内导数不存在的点（如f(x)=|x|在x=0处不可导）。

4. 划分区间并判定符号：用驻点和不可导点将定义域划分为若干子区间，在每个子区间内取“测试点”，判断f’(x)的符号，进而确定单调性。例如f(x)=x³ - 3x² + 2，定义域为(-∞,+∞)，驻点x=0、x=2，划分区间：

- (-∞,0)：取x=-1，f’(-1)=3×(-1)×(-3)=9＞0 ⇒ 单调递增；

- (0,2)：取x=1，f’(1)=3×1×(-1)=-3＜0 ⇒ 单调递减；

- (2,+∞)：取x=3，f’(3)=3×3×1=9＞0 ⇒ 单调递增。

真题示例（2023年数学三选择7题）：求f(x)=x² - ln x的单调递减区间，步骤：①定义域(0,+∞)；②f’(x)=2x - 1/x=(2x² - 1)/x；③令f’(x)=0得x=√(1/2)（x=-√(1/2)舍去，不在定义域）；④区间(0,√(1/2))内f’(x)＜0 ⇒ 单调递减区间为(0,√2/2)。

二、3种极值求解方法（含极值判定与最值）

极值定义：f(x)在x₀处的函数值f(x₀)比x₀附近的函数值都大（或小），则f(x₀)为极大值（或极小值），x₀为极值点。

1. 第一充分条件（适用于所有可导/不可导点）：

- 步骤：①找驻点和不可导点；②判断这些点左右两侧f’(x)的符号：若左侧f’(x)＞0、右侧f’(x)＜0 ⇒ 极大值点；若左侧f’(x)＜0、右侧f’(x)＞0 ⇒ 极小值点；若两侧符号不变 ⇒ 非极值点。

- 示例：f(x)=x³ - 3x² + 2，驻点x=0（左侧增、右侧减 ⇒ 极大值点，f(0)=2）；x=2（左侧减、右侧增 ⇒ 极小值点，f(2)=-2）。

2. 第二充分条件（仅适用于驻点，且f’’(x)存在）：

- 步骤：①找驻点x₀（f’(x₀)=0）；②计算二阶导数f’’(x₀)：若f’’(x₀)＜0 ⇒ 极大值点；若f’’(x₀)＞0 ⇒ 极小值点；若f’’(x₀)=0 ⇒ 无法判定（需用第一充分条件）。

- 示例：f(x)=x³ - 3x² + 2，f’’(x)=6x - 6；f’’(0)=-6＜0 ⇒ 极大值点；f’’(2)=6＞0 ⇒ 极小值点。

3. 闭区间上的最值求解（大题常考）：

- 步骤：①求闭区间[a,b]内f(x)的驻点和不可导点；②计算这些点及区间端点（a、b）的函数值；③比较所有函数值，最大的为最大值，最小的为最小值。

- 真题示例（2022年数学二大题17题）：求f(x)=x³ - 3x + 1在[0,2]上的最值，步骤：①f’(x)=3x² - 3=3(x-1)(x+1)，驻点x=1（x=-1舍去）；②计算f(0)=1、f(1)=-1、f(2)=3；③最大值为3（x=2），最小值为-1（x=1）。

三、2类切线方程题型（几何意义核心应用）

导数的几何意义：f’(x₀)是曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处的切线斜率，法线斜率为-1/f’(x₀)（f’(x₀)≠0）。

1. 已知点求切线方程（点在曲线上）：

- 公式：切线方程y - f(x₀)=f’(x₀)(x - x₀)；法线方程y - f(x₀)=(-1/f’(x₀))(x - x₀)（f’(x₀)≠0）。

- 示例：求y=x²在点(1,1)处的切线方程，步骤：①f’(x)=2x，f’(1)=2；②切线方程y - 1=2(x - 1) ⇒ y=2x - 1。

2. 已知切线斜率求切线方程（点不在曲线上）：

- 步骤：①设切点为(x₀,f(x₀))，则切线斜率k=f’(x₀)；②切线方程为y - f(x₀)=k(x - x₀)；③代入已知点坐标，解方程得x₀，进而得切线方程。

- 真题示例（2021年数学一填空6题）：求过点(0,1)且与曲线y=lnx相切的切线方程，步骤：①设切点为(x₀,lnx₀)，f’(x)=1/x，斜率k=1/x₀；②切线方程y - lnx₀=(1/x₀)(x - x₀)；③代入(0,1)得1 - lnx₀=(1/x₀)(-x₀) ⇒ 1 - lnx₀=-1 ⇒ lnx₀=2 ⇒ x₀=e²；④切线方程y - 2=(1/e²)(x - e²) ⇒ y=x/e² + 1。

常见误区：一是“求导错误”导致后续分析全错（如f(x)=e^x sinx，f’(x)=e^x sinx + e^x cosx，漏写乘积法则）；二是“忽略定义域”（如lnx的定义域为(0,+∞)，分析时误包含x≤0）；三是“极值与最值混淆”（极值是局部概念，最值是全局概念，闭区间上最值需考虑端点）。

备考建议：每天练习1道单调性/极值大题+2道切线方程小题，重点训练“求导→找驻点→判定符号”的标准流程，做完后检查“求导是否正确”“定义域是否遗漏”。1周内可熟练掌握该考点，稳定拿下15分左右的分值。