考研数学高数高频考点：函数极限与连续解题技巧精讲 订阅+ 进入阅读模式

“函数极限与连续”是考研数学高数的“开篇必考点”，每年真题均有考查（数学一/二/三均考），多以“选择题（4分）+填空题（4分）”形式出现，偶尔结合大题第一问，总分值8-10分。该考点难度中等，但技巧性强，核心是“掌握极限计算方法”和“理解连续定义”，只要避开常见易错点，即可稳定拿分。

一、5类极限计算方法（覆盖真题90%以上题型）

1. 等价无穷小替换法（0/0型、∞/∞型首选）

- 适用场景：极限中含“乘积或商”形式的无穷小（x→0或x→x₀时，f(x)→0）。

- 核心公式（x→0时）：需牢记10组核心等价无穷小：①sinx~x；②tanx~x；③arcsinx~x；④arctanx~x；⑤ln(1+x)~x；⑥e^x -1~x；⑦1-cosx~(1/2)x²；⑧(1+x)^α -1~αx（α为常数）；⑨a^x -1~x lna；⑩log_a(1+x)~x/lna。

- 使用禁忌：仅能替换“乘积或商中的无穷小”，不能替换“加减中的无穷小”。例如lim(x→0)(sinx - x)/x³，若将sinx替换为x，会得到lim(x→0)(x - x)/x³=0，但正确结果为-1/6（需用泰勒展开），此处错误在于“加减中替换无穷小”。

- 真题示例（2023年数学一填空1题）：lim(x→0)(tanx - sinx)/x³，步骤：①化简为lim(x→0)tanx(1 - cosx)/x³（拆分乘积形式）；②等价替换（tanx~x，1-cosx~(1/2)x²）；③计算得lim(x→0)x·(1/2)x²/x³=1/2。

2. 洛必达法则（等价替换无法解决时使用）

- 适用场景：仅适用于“0/0型”或“∞/∞型”极限，且需满足“导数存在”。

- 核心步骤：①判断极限类型（0/0或∞/∞）；②分子分母同时求导；③化简后再次判断类型，重复步骤直至求出极限。

- 3个使用限制：①非0/0或∞/∞型不能用（如lim(x→∞)(x + sinx)/x，虽为∞/∞型，但求导后lim(x→∞)(1 + cosx)不存在，需用“抓大头”法得1）；②求导时需“分子分母同时求导”，不能只导分子或分母；③多次使用时，每次需重新判断类型（如lim(x→0)(e^x -1 -x -x²/2)/x³，第一次求导得lim(x→0)(e^x -1 -x)/x²（仍0/0型），第二次求导得lim(x→0)(e^x -1)/2x（仍0/0型），第三次求导得lim(x→0)e^x/2=1/2）。

3. 泰勒展开式（复杂函数极限高效解法）

- 适用场景：含e^x、ln(1+x)、sinx、cosx等复杂函数的极限，尤其洛必达需多次求导时，泰勒展开更高效。

- 核心公式（x→0时，展开到3阶即可）：①e^x=1 + x + x²/2! + x³/3! + o(x³)；②ln(1+x)=x - x²/2 + x³/3 + o(x³)；③sinx=x - x³/3! + o(x³)；④cosx=1 - x²/2! + x³/4! + o(x³)。

- 真题示例（2022年数学二选择2题）：lim(x→0)(e^x - e^{-x} - 2x)/(x - sinx)，步骤：①泰勒展开分子（e^x=1+x+x²/2+x³/6，e^{-x}=1-x+x²/2-x³/6，分子=2x + x³/3）；②泰勒展开分母（sinx=x - x³/6，分母=x³/6）；③计算得lim(x→0)(x³/3)/(x³/6)=2。

4. 抓大头法（x→∞时多项式极限）

- 适用场景：x→∞时，分子分母均为多项式（如lim(x→∞)(a_n x^n +...+a_0)/(b_m x^m +...+b_0)）。

- 核心原则：保留分子分母“最高次项”，忽略低次项（因x→∞时，最高次项主导极限）。

- 3种情况：①n=m时，极限= a_n / b_m（如lim(x→∞)(3x³+2x)/2x³=3/2）；②n＜m时，极限=0（如lim(x→∞)(2x²+1)/x³=0）；③n＞m时，极限=∞（如lim(x→∞)(x³)/(x²+1)=∞）。

5. 左右极限判定法（分段函数、含绝对值或特殊函数）

- 适用场景：①分段函数在分段点的极限（如f(x)= {x²,x≤1；2x-1,x>1}）；②含绝对值的函数（如f(x)=|x-1|）；③含arctan(1/x)、e^(1/x)的函数（x→0时）。

- 核心原则：极限存在⇨左极限（x→x₀⁻）=右极限（x→x₀⁺）。

- 示例：lim(x→0)arctan(1/x)，左极限（x→0⁻）：1/x→-∞，arctan(1/x)→-π/2；右极限（x→0⁺）：1/x→+∞，arctan(1/x)→π/2；左右极限不等，故极限不存在。

二、3大连续判定要点（真题常考分段函数连续性）

连续的定义：函数f(x)在x₀处连续⇨满足3个条件：①f(x₀)有定义；②lim(x→x₀)f(x)存在（左右极限相等）；③lim(x→x₀)f(x)=f(x₀)。

真题常考题型：分段函数在分段点的连续性，例如设f(x)= {x² + a, x≤0；sinx / x, x>0}，若f(x)在x=0处连续，求a的值。步骤：①f(0)=0² + a=a；②左极限lim(x→0⁻)(x² + a)=a，右极限lim(x→0⁺)(sinx/x)=1（等价无穷小替换）；③由连续定义得a=1。

三、2类真题易错点（避坑指南）

1. 极限存在与函数连续的混淆：极限存在仅需“左右极限相等”，无需“极限值=函数值”；连续需同时满足“极限存在”和“极限值=函数值”。例如f(x)= (x²-1)/(x-1)在x=1处，lim(x→1)f(x)=2（极限存在），但f(1)无定义（不连续）。

2. 等价无穷小替换的滥用：除“加减中不能替换”外，还需注意“替换后的无穷小阶数匹配”（如lim(x→0)(sinx - tanx)/x³，若仅替换sinx~x、tanx~x，得lim(x→0)(x - x)/x³=0，错误；需展开到3阶：sinx=x - x³/6，tanx=x + x³/3，故分子= -x³/2，极限= -1/2）。

备考建议：每天练习3-5道极限题（从《660题》或近10年真题中选取），重点训练“等价无穷小+泰勒展开”组合方法，做完后标注“方法适用场景”和“易错点”。1周内可掌握90%以上的极限题型，轻松拿下这一高频考点。