考研数学概率论高频考点：随机变量及其分布解题指南 订阅+ 进入阅读模式

“随机变量及其分布”是考研数学概率论的“基石考点”，涵盖“离散型随机变量”和“连续型随机变量”两大类型，每年真题必出1道大题（10-12分）+2道小题（8分），占概率论总分的40%以上。此考点的难点在于“分布函数、概率密度/分布律的理解”和“高频分布的应用”，需按“类型分类突破”。

首先是2类随机变量的核心计算方法，离散与连续变量的定义、性质、计算逻辑差异较大，需分开掌握：

1. 离散型随机变量（取值为有限个或可列个）：

①核心概念：分布律（P(X=x_k)=p_k，k=1,2,...），需满足“所有p_k≥0且Σp_k=1”；分布函数F(x)=P(X≤x)=Σ（x_k≤x）p_k，是“右连续的阶梯函数”。

②高频计算题型：a. 求分布律：根据题意确定X的可能取值，计算每个取值的概率（如“掷2次硬币，X为正面次数”，X取值0,1,2，P(X=0)=1/4，P(X=1)=1/2，P(X=2)=1/4）；b. 求分布函数：按x的区间分段计算，如上述X的分布函数，当x<0时F(x)=0，0≤x<1时F(x)=1/4，1≤x<2时F(x)=3/4，x≥2时F(x)=1；c. 求概率P(a

③真题示例：2023年数学三选择第7题，给出离散型随机变量X的分布律，求P(1

2. 连续型随机变量（取值充满区间）：

①核心概念：概率密度f(x)，需满足“f(x)≥0且∫（-∞到+∞）f(x)dx=1”；分布函数F(x)=P(X≤x)=∫（-∞到x）f(t)dt，是“连续的单调不减函数”，且P(X=a)=0（a为任意常数）。

②高频计算题型：a. 求概率密度中的参数：利用“∫f(x)dx=1”求解（如f(x)=Ae^{-|x|}，通过∫（-∞到+∞）Ae^{-|x|}dx=2A∫（0到+∞）e^{-x}dx=2A=1，得A=1/2）；b. 求分布函数：按f(x)的分段区间计算定积分（如f(x)在[0,1]为2x，其他为0，则F(x)在x<0时为0，0≤x<1时为∫0到x 2t dt=x²，x≥1时为1）；c. 求概率P(a

③真题示例：2022年数学一填空第6题，给出连续型随机变量X的概率密度，求P(0

其次是3大高频分布（占随机变量题型的70%），需牢记“分布形式、参数含义、数字特征（期望/方差）”：

1. 二项分布（X~B(n,p)）：

①适用场景：n次独立重复试验，每次试验“成功概率为p”，X为成功次数（如“掷n次硬币，正面次数”“投篮n次，命中次数”）；

②分布律：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}（k=0,1,...,n），其中C(n,k)为组合数；

③数字特征：E(X)=np，D(X)=np(1-p)；

④真题应用：2021年数学三解答题第22题，某工厂生产产品，次品率为p，随机抽n件，求X（次品数）的分布律，并计算期望。

2. 正态分布（X~N(μ,σ²)）：

①适用场景：大量随机现象的分布（如“身高、体重、考试分数”），是概率中最重要的分布；

②概率密度：f(x)=(1/(σ√(2π)))e^{-[(x-μ)²]/(2σ²)}，图像为“对称于x=μ的钟形曲线”；

③标准化：若X~N(μ,σ²)，则Z=(X-μ)/σ~N(0,1)（标准正态分布），概率计算需转化为标准正态（如P(a

④数字特征：E(X)=μ，D(X)=σ²；

⑤真题应用：2023年数学一选择第8题，X~N(1,4)，求P(X>3)，标准化后Z=(3-1)/2=1，P(X>3)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587（Φ(1)为常用值，需记忆Φ(1)=0.8413，Φ(1.96)=0.975）。

3. 均匀分布（X~U(a,b)）：

①适用场景：X在区间[a,b]上“等可能取值”（如“随机选取[0,1]上的数”“公交车到站时间”）；

②概率密度：f(x)=1/(b-a)（a≤x≤b），其他为0；

③分布函数：F(x)=0（x

④数字特征：E(X)=(a+b)/2，D(X)=(b-a)²/12；

⑤真题应用：2022年数学三填空第7题，X~U(2,5)，求P(3

常见误区：一是“混淆离散与连续变量的概率计算”，离散型用“求和”，连续型用“积分”，且连续型P(X=a)=0；二是“正态分布标准化错误”，需牢记Z=(X-μ)/σ，而非(X-σ)/μ；三是“二项分布组合数计算错误”，需熟练掌握C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)，避免计算失误。

备考建议：每天练习2道随机变量题目（1道离散、1道连续），重点记忆“3大分布的参数和计算步骤”，每周整理1次“分布函数、概率密度的错题”，标注错因（如积分计算错误、分布律求和错误）。2周内可掌握这一考点，为后续“数字特征”“参数估计”打下基础。