考研数学线代高频考点：线性方程组解的判定与求解 订阅+ 进入阅读模式

“线性方程组”是考研数学线性代数的“核心枢纽”——它串联起“矩阵秩”“向量组线性相关性”“特征值与特征向量”等多个考点，每年真题必出1道大题（11-12分）+1道小题（4分），占线代总分的30%以上。此考点的难点在于“解的存在性判定”和“基础解系求解”，需紧扣“秩的关系”这一核心逻辑。

首先是3步判定线性方程组解的存在性，线性方程组分为“齐次方程组Ax=0”和“非齐次方程组Ax=b”（A为m×n矩阵，x为n维列向量，b为m维非零列向量），两者判定方法不同：

1. 齐次方程组Ax=0（必有解，至少有零解）：解的类型由“系数矩阵的秩r(A)”与“未知数个数n”决定：①若r(A)=n（满秩），则方程组只有零解（如A为3阶可逆矩阵，Ax=0仅x=0）；②若r(A)

2. 非齐次方程组Ax=b：解的存在性需满足“系数矩阵的秩r(A)”与“增广矩阵的秩r(A,b)”相等：①若r(A)≠r(A,b)，方程组无解（如A为2×3矩阵，r(A)=1，r(A,b)=2，此时增广矩阵出现“0 0 0 | c”（c≠0）的行，无解）；②若r(A)=r(A,b)=n，方程组有唯一解（如A为3阶可逆矩阵，r(A)=r(A,b)=3，用克拉默法则或逆矩阵求解）；③若r(A)=r(A,b)=r

3. 判定步骤总结：无论齐次还是非齐次，第一步均为“对矩阵做初等行变换化为行阶梯形”（仅行变换，不改变秩和解）；第二步“计算秩r(A)”（齐次）或“r(A)与r(A,b)”（非齐次）；第三步“根据秩与n的关系判定解的类型”。需注意：初等行变换的核心是“逐列化为首非零元为1，下方元素为0”，例如对矩阵[1 2 3; 2 4 5]做行变换，第二行减去2倍第一行，得到[1 2 3; 0 0 -1]，此时r(A)=2。

其次是2类方程组的求解步骤，核心是“先求基础解系（齐次）或特解+基础解系（非齐次），再写通解”：

1. 齐次方程组Ax=0求解（以A为3×4矩阵，r(A)=2为例）：

①初等行变换：将A化为行最简形（首非零元为1，其上方元素也为0），如化为[1 2 0 -1; 0 0 1 2; 0 0 0 0]；

②确定自由变量：秩r=2，未知数n=4，自由变量个数=4-2=2，选择“非首非零元所在列的变量”为自由变量（如x₂、x₄，令x₂=c₁，x₄=c₂，c₁、c₂为任意常数）；

③解出主变量：由行最简形列方程，x₁ + 2x₂ - x₄=0 → x₁= -2c₁ + c₂；x₃ + 2x₄=0 → x₃= -2c₂；

④写基础解系与通解：将解向量拆分为自由变量的线性组合，x= c₁[-2; 1; 0; 0] + c₂[1; 0; -2; 1]，其中[-2;1;0;0]和[1;0;-2;1]为基础解系，通解为两者的线性组合。

2. 非齐次方程组Ax=b求解（接上述A，b为某向量，r(A)=r(A,b)=2）：

①求特解：令自由变量x₂=0，x₄=0，代入行最简形（增广矩阵），解出x₁、x₃，得到特解η₀（如η₀=[1; 0; 3; 0]）；

②求对应齐次方程组Ax=0的基础解系（同上述齐次求解步骤，得到ξ₁=[-2;1;0;0]，ξ₂=[1;0;-2;1]）；

③写通解：x=η₀ + c₁ξ₁ + c₂ξ₂（c₁、c₂为任意常数）。

常见误区：一是“初等行变换出错”，导致秩计算错误（如行变换时漏减倍数、符号错误），需多练“矩阵行变换”，确保每一步准确；二是“自由变量选择错误”，应选择“非首非零元列的变量”，而非随意选择；三是“通解书写不规范”，需明确标注“任意常数”，基础解系需写为“线性组合形式”。

备考建议：每周练习2-3道线性方程组大题（从《李永乐线性代数辅导讲义》或真题中选取），重点训练“行变换→秩判定→求解”全流程，做完后对照解析检查“秩的计算”和“基础解系是否线性无关”。1-2周可熟练掌握这一考点，轻松拿下线代核心分数。