考研数学高数高频考点：函数极限与连续解题技巧 订阅+ 进入阅读模式

“函数极限与连续”是考研数学高数的“开篇考点”，也是每年真题的必考题（数学一/二/三均考，多以选择题、填空题形式出现，偶尔结合大题第一问），难度中等但技巧性强，掌握方法后可轻松拿到8-10分。此考点的核心是“极限计算”和“连续判定”，需针对性掌握解题技巧。

首先是5类极限计算方法，覆盖真题90%以上的极限题型：

1. 等价无穷小替换法：适用于“0/0型”“∞/∞型”极限中含“乘积或商”的形式，需牢记x→0时的10组核心等价无穷小：sinx~x、tanx~x、arcsinx~x、arctanx~x、ln(1+x)~x、e^x -1~x、1-cosx~(1/2)x²、(1+x)^α -1~αx（α为常数）、a^x -1~x lna、log_a(1+x)~x/lna。使用时需注意“替换条件”：仅能替换“乘积或商中的无穷小”，不能替换“加减中的无穷小”（如lim(x→0)(sinx - x)/x³，不能将sinx替换为x后计算为0，需用泰勒展开或洛必达法则）。真题示例：2023年数学一填空第1题“lim(x→0)(tanx - sinx)/x³”，先化简为lim(x→0)tanx(1 - cosx)/x³，再用等价无穷小替换（tanx~x、1-cosx~(1/2)x²），结果为1/2。

2. 洛必达法则：适用于“0/0型”“∞/∞型”极限，当等价无穷小无法直接替换时使用，核心步骤是“求导→化简→判断是否仍满足洛必达条件”。需注意3个限制：①仅适用于“0/0”或“∞/∞”型，需先判断极限类型（如lim(x→∞)(x + sinx)/x，虽为∞/∞型，但求导后为lim(x→∞)(1 + cosx)，极限不存在，不能用洛必达，需用“抓大头”法化简为lim(x→∞)(x/x + sinx/x)=1）；②求导时需“分子分母同时求导”，不能只导分子或分母；③多次使用时，每次都需判断是否满足条件（如lim(x→0)(e^x - 1 - x - x²/2)/x³，第一次洛必达后为lim(x→0)(e^x -1 -x)/x²，仍为0/0型，需第二次洛必达为lim(x→0)(e^x -1)/2x，第三次洛必达为lim(x→0)e^x/2=1/2）。

3. 泰勒展开式：适用于“复杂函数极限”（如含e^x、ln(1+x)、sinx的极限），尤其当洛必达法则需多次使用时，泰勒展开更高效。需牢记3个核心函数的泰勒展开（x→0时，展开到3阶即可满足多数题型）：e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + o(x³)；ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 + o(x³)；sinx = x - x³/3! + o(x³)。真题示例：2022年数学二选择第2题“lim(x→0)(e^x - e^{-x} - 2x)/(x - sinx)”，用泰勒展开替换后，分子= [1+x+x²/2+x³/6 - (1 -x +x²/2 -x³/6)] - 2x = (2x + x³/3) - 2x = x³/3，分母= x - (x - x³/6) = x³/6，极限= (x³/3)/(x³/6)=2。

4. “抓大头”法：适用于“x→∞时的多项式极限”，核心是“保留分子分母最高次项，忽略低次项”。例如lim(x→∞)(3x³ + 2x² - 1)/(2x³ - x + 5) = lim(x→∞)3x³/2x³=3/2；lim(x→∞)(2x² + 1)/(x³ - x) = lim(x→∞)2x²/x³=0。若分子最高次项高于分母，极限为∞（如lim(x→∞)(x³)/(x²+1)=∞）。

5. 左右极限判定法：适用于“分段函数在分段点的极限”“含绝对值的函数”“含arctan(1/x)、e^(1/x)的函数”，需分别计算左极限（x→x₀⁻）和右极限（x→x₀⁺），两者相等则极限存在。例如lim(x→0)arctan(1/x)，左极限x→0⁻时1/x→-∞，arctan(1/x)→-π/2；右极限x→0⁺时1/x→+∞，arctan(1/x)→π/2，左右极限不相等，故极限不存在。

其次是3大连续判定要点，连续的定义是“lim(x→x₀)f(x)=f(x₀)”，需满足3个条件：①f(x₀)有定义；②lim(x→x₀)f(x)存在（左右极限相等）；③极限值等于函数值。真题常考“分段函数在分段点的连续性”，例如设f(x)= {x², x≤1；ax + b, x>1}，若f(x)在x=1处连续，需满足：f(1)=1²=1；左极限lim(x→1⁻)x²=1，右极限lim(x→1⁺)(ax + b)=a + b，故a + b=1，联立可求解参数。

备考建议：每天练习3-5道极限计算题（从《660题》或真题中选取），重点使用“等价无穷小+洛必达+泰勒”组合方法，做完后总结“每种方法的适用场景”。一周内可掌握90%以上的极限题型，轻松拿下这一高频考点。