考研数学高数笔记分享：二重积分计算方法与题型解析 订阅+ 进入阅读模式

二重积分是高数下册的核心（数学一、三必考，数学二不考），近5年真题中考查占10-15分（如直角坐标/极坐标计算、对称性应用），核心是“将二重积分转化为二次积分”，笔记需重点记“积分区域分析+坐标选择+计算步骤”，避免因区域划分错误导致计算失误。

首先要明确“二重积分的几何意义”：若f(x,y)≥0，∬_D f(x,y)dxdy表示“以D为底、以z=f(x,y)为顶的曲顶柱体体积”，例：∬_D 1 dxdy（D是半径为r的圆）表示“高为1的圆柱体体积”，值为πr²。二重积分的性质与定积分类似，需记“线性性质”（∬(k1f1 + k2f2)dxdy=k1∬f1dxdy + k2∬f2dxdy）、“区域可加性”（D=D1∪D2，∬_D=∬_D1 + ∬_D2），以及“比较定理”（f(x,y)≤g(x,y)，则∬f≤∬g）。

直角坐标下的二重积分计算是基础，关键是“划分积分区域并确定积分次序”（x型区域或y型区域）。1. x型区域：D由x=a、x=b、y=φ1(x)、y=φ2(x)围成（φ1(x)≤φ2(x)），积分次序“先y后x”，即∬_D f(x,y)dxdy=∫(a到b)dx ∫(φ1(x)到φ2(x))f(x,y)dy，例：D是由x=0、x=1、y=0、y=x围成的区域（x型），∬_D xydxdy=∫(0到1)dx ∫(0到x)xy dy，先算内层积分∫(0到x)xy dy=x·(y²/2)|(0到x)=x³/2，再算外层积分∫(0到1)x³/2 dx=(x⁴/8)|(0到1)=1/8；2. y型区域：D由y=c、y=d、x=ψ1(y)、x=ψ2(y)围成（ψ1(y)≤ψ2(y)），积分次序“先x后y”，即∬_D f(x,y)dxdy=∫(c到d)dy ∫(ψ1(y)到ψ2(y))f(x,y)dx，例：同上区域D，也可视为y型（y=0、y=1、x=y、x=1），积分=∫(0到1)dy ∫(y到1)xy dx，内层积分∫(y到1)xy dx=y·(x²/2)|(y到1)=y(1 - y²)/2，外层积分∫(0到1)y(1 - y²)/2 dy=∫(0到1)(y - y³)/2 dy=(y²/2 - y⁴/4)/2|(0到1)=(1/2 - 1/4)/2=1/8，结果一致。笔记中需标注“积分次序选择原则：尽量减少分割区域，使内层积分上下限简单”。

极坐标下的二重积分适用于“积分区域是圆或圆环，被积函数含x²+y²、xy、y/x”等形式，核心是“坐标转换”：x=ρcosθ，y=ρsinθ，dxdy=ρdρdθ（必须乘ρ，这是高频易错点）。极坐标下的积分区域分三类：1. 圆心在原点的圆（ρ≤r，θ∈[α,β]）；2. 圆心在x轴上的圆（如ρ=2rcosθ，θ∈[-π/2,π/2]）；3. 圆环（r1≤ρ≤r2，θ∈[α,β]）。计算步骤：1. 将被积函数f(x,y)替换为f(ρcosθ,ρsinθ)；2. 将dxdy替换为ρdρdθ；3. 确定ρ和θ的范围，转化为二次积分（通常“先ρ后θ”），例：计算∬_D √(x²+y²)dxdy，D是x²+y²≤2x（即ρ≤2cosθ，θ∈[-π/2,π/2]），被积函数√(x²+y²)=ρ，积分=∫(-π/2到π/2)dθ ∫(0到2cosθ)ρ·ρdρ=∫(-π/2到π/2)dθ ∫(0到2cosθ)ρ²dρ，内层积分=ρ³/3|(0到2cosθ)=8cos³θ/3，外层积分=∫(-π/2到π/2)8cos³θ/3 dθ，因cos³θ是偶函数，=2×∫(0到π/2)8cos³θ/3 dθ=16/3×(2/3)=32/9（利用∫(0到π/2)cos^nθ dθ，n为奇数时(n-1)!!/n!!）。

对称性应用是简化二重积分计算的关键，需记三类对称：1. 区域D关于x轴对称：若f(x,-y)=-f(x,y)（奇函数），则∬_D f=0；若f(x,-y)=f(x,y)（偶函数），则∬_D f=2∬_D1 f（D1是D在x轴上方的部分）；2. 关于y轴对称：同理，f(-x,y)=-f→∬=0，f(-x,y)=f→∬=2∬_D2 f（D2在y轴右侧）；3. 关于原点对称：f(-x,-y)=-f→∬=0，f(-x,-y)=f→∬=2∬_D1 f。例：D是x²+y²≤1，∬_D xy dxdy=0（因f(x,y)=xy关于x轴、y轴均为奇函数）；∬_D x² dxdy=∬_D y² dxdy（对称性），故∬_D (x²+y²)dxdy=2∬_D x² dxdy，简化计算。

易错点与复习建议：1. 极坐标下漏乘ρ，积分次序选择错误导致区域分割复杂；2. 对称性应用时判断函数奇偶性错误（如f(x,y)=x²y关于x轴是奇函数，关于y轴是偶函数）；3. 每天练2道直角坐标、1道极坐标的二重积分题，结合2024数学一第18题（极坐标计算）、2023数学三第16题（对称性应用），将解题步骤中的区域画图（用铅笔在笔记旁画），强化区域分析能力。