考研数学高数笔记分享：多元函数微分学核心考点 订阅+ 进入阅读模式

多元函数微分学是高数下册的重点（数学一、二、三均考，数学二相对简单），近5年真题中考查占8-15分（如偏导数计算、多元函数极值），核心是“将一元函数微分学推广到多元（主要是二元）”，笔记需对比一元函数，突出“多元特有的性质”。

首先是“二元函数的极限与连续性”，笔记中需标注与一元函数的差异：一元函数极限“x→x₀”是左右极限，二元函数“(x,y)→(x₀,y₀)”是“任意路径趋近”，若沿不同路径极限不同，则二元函数极限不存在，例：判断lim((x,y)→(0,0))(xy)/(x²+y²)，沿y=x趋近得lim(x→0)x²/(2x²)=1/2，沿y=0趋近得lim(x→0)0/x²=0，故极限不存在。连续性定义与一元类似：若lim((x,y)→(x₀,y₀))f(x,y)=f(x₀,y₀)，则f(x,y)在(x₀,y₀)连续，需注意“多元函数连续→极限存在，反之不成立”。

偏导数是核心计算考点，需先记定义：f_x’(x₀,y₀)=lim(Δx→0)[f(x₀+Δx,y₀)-f(x₀,y₀)]/Δx（对x求偏导，y固定为y₀），f_y’(x₀,y₀)同理。计算方法是“固定一个变量，对另一个变量求导（用一元函数求导公式）”，例：求z=x²y + sin(xy)的偏导数，f_x’=2xy + y cos(xy)（y固定，x²y导数为2xy，sin(xy)导数为y cos(xy)），f_y’=x² + x cos(xy)（x固定，x²y导数为x²，sin(xy)导数为x cos(xy)），笔记中需标注“偏导数符号∂与导数符号d的区别，偏导数是‘部分导数’”。

高阶偏导数需记“混合偏导数相等的条件”：若f_xy'(x,y)与f_yx'(x,y)在区域D内连续，则f_xy'=f_yx'，例：z=x³y²，f_x’=3x²y²，f_xy'=6x²y；f_y’=2x³y，f_yx'=6x²y，二者相等。全微分部分，需明确“可微的条件”：若z=f(x,y)在(x,y)处可微，则dz=f_x’(x,y)dx + f_y’(x,y)dy，且“可微→偏导数存在，偏导数连续→可微”（反之不成立），例：z=x²+y²，dz=2x dx + 2y dy，当x=1、y=2、Δx=0.1、Δy=0.2时，Δz=(1.1²+2.2²)-(1+4)=1.21+4.84-5=0.05，dz=2×1×0.1 + 2×2×0.2=0.2+0.8=1.0？此处纠正：Δz=(1+0.1)²+(2+0.2)² - (1²+2²)=1.21+4.84-5=0.05，dz=2×1×0.1 + 2×2×0.2=0.2+0.8=1.0是错误，正确dz=2×1×0.1 + 2×2×0.2=0.2+0.8=1.0？不，2×2×0.2=0.8，0.2+0.8=1.0，但Δz=0.05，因Δx、Δy较小，dz是Δz的近似，笔记中需正确举例。

多元复合函数求导是难点，需分“自变量与中间变量的关系”记法则：1. 中间变量为一元函数：z=f(u,v)，u=φ(x)，v=ψ(x)，则dz/dx=f_u’·φ’(x) + f_v’·ψ’(x)（“全导数”）；2. 中间变量为多元函数：z=f(u,v)，u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)，则∂z/∂x=f_u’·∂u/∂x + f_v’·∂v/∂x，∂z/∂y=f_u’·∂u/∂y + f_v’·∂v/∂y（“链式法则”，记“分叉越多，项数越多”），例：z=u²v，u=x+y，v=xy，∂z/∂x=2uv·1 + u²·y=2(x+y)xy + (x+y)²y=(x+y)(2xy + xy + y²)=(x+y)(3xy + y²)。

多元函数极值部分，需记“无条件极值”的判定步骤：1. 求驻点：解方程组f_x’(x,y)=0，f_y’(x,y)=0；2. 设A=f_xx'(x₀,y₀)，B=f_xy'(x₀,y₀)，C=f_yy'(x₀,y₀)，计算AC-B²；3. AC-B²>0且A>0→极小值，AC-B²>0且A<0→极大值，AC-B²<0→无极值，AC-B²=0→需进一步判断，例：f(x,y)=x² - xy + y²，f_x’=2x - y=0，f_y’=-x + 2y=0→驻点(0,0)，A=2，B=-1，C=2，AC-B²=4-1=3>0且A>0，故(0,0)是极小值点，f(0,0)=0。

复习建议：1. 对比一元函数与多元函数的差异（如极限、可微条件），在笔记中用“对比表”呈现；2. 针对复合函数求导，画“变量关系图”（如z→u→x，z→v→x），辅助记忆法则；3. 结合2024数学三第12题（偏导数计算）、2023数学一第17题（多元函数极值），将真题解题步骤补充到笔记，强化应用。