考研数学高数笔记分享：不定积分与定积分解题技巧 订阅+ 进入阅读模式

积分是考研高数的“计算核心”，不定积分是定积分的基础，定积分又关联二重积分、微分方程等，近5年真题中积分直接考查占12-18分（如不定积分计算、定积分几何应用）。笔记需重点记“公式+方法+应用”，避免只记结论不记思路。

不定积分部分，首先要明确“原函数与不定积分的关系”：若F’(x)=f(x)，则∫f(x)dx=F(x)+C（C为常数），笔记中需标注“不定积分结果必加常数C”，这是高频易错点。基本积分公式需与导数公式对应记忆，比如：∫sinx dx=-cosx+C（对应(sinx)’=cosx）、∫1/x dx=ln|x|+C（对应(lnx)’=1/x）、∫e^x dx=e^x+C，建议用表格整理，区分幂函数（∫x^a dx，a≠-1）、三角函数、指数函数、反三角函数的积分公式。

不定积分的计算方法是重点，需分步骤记：1. 第一类换元法（“凑微分法”）：若∫f(u)du=F(u)+C，且u=φ(x)可导，则∫f(φ(x))φ’(x)dx=F(φ(x))+C，核心是“凑出φ’(x)dx=dφ(x)”，例：求∫sin(2x)dx，设u=2x，du=2dx→dx=du/2，积分变为(1/2)∫sinu du=-(1/2)cosu+C=-(1/2)cos(2x)+C，笔记中需标注“常见凑微分形式”：dx=(1/a)d(ax+b)、x dx=(1/2)d(x²)、e^x dx=d(e^x)；2. 第二类换元法（“变量代换法”）：适用于含√(a²-x²)、√(x²+a²)、√(x²-a²)的积分，分别用x=asint、x=atant、x=asect代换，例：求∫√(1-x²)dx，设x=sint（t∈[-π/2,π/2]），dx=cost dt，√(1-x²)=cost，积分变为∫cos²t dt，用降幂公式cos²t=(1+cos2t)/2，得(1/2)t + (1/4)sin2t + C，再代回x=sint，t=arcsinx，sin2t=2x√(1-x²)，最终结果(1/2)arcsinx + (1/2)x√(1-x²)+C；3. 分部积分法：∫u dv=uv - ∫v du，核心是“选u”（按“反三角函数>对数函数>幂函数>三角函数>指数函数”优先级），例：求∫x lnx dx，设u=lnx（优先级高），dv=x dx→du=(1/x)dx，v=(1/2)x²，积分变为(1/2)x² lnx - ∫(1/2)x²·(1/x)dx=(1/2)x² lnx - (1/4)x² + C。

定积分部分，需先记“定义与几何意义”：定积分∫(a到b)f(x)dx是“曲边梯形面积的代数和”（f(x)≥0时为面积，f(x)<0时为负面积），例：∫(0到1)x dx是“底1、高1的三角形面积”，值为1/2。核心公式是“牛顿-莱布尼茨公式”：若F(x)是f(x)的原函数，则∫(a到b)f(x)dx=F(b)-F(a)，这是定积分计算的关键，例：∫(0到π)sinx dx=(-cosx)|(0到π)=-cosπ - (-cos0)=1 - (-1)=2。

定积分的特殊性质需重点记：1. 对称区间积分：若f(x)是奇函数，∫(-a到a)f(x)dx=0；若f(x)是偶函数，∫(-a到a)f(x)dx=2∫(0到a)f(x)dx，例：∫(-1到1)x³ dx=0（奇函数），∫(-1到1)x² dx=2∫(0到1)x² dx=2/3；2. 周期函数积分：若f(x)周期为T，∫(a到a+T)f(x)dx=∫(0到T)f(x)dx；3. 定积分中值定理：存在ξ∈[a,b]，使∫(a到b)f(x)dx=f(ξ)(b-a)。

易错点与复习建议：1. 不定积分漏加常数C，定积分计算时原函数代入错误（如F(b)-F(a)记成F(a)-F(b)）；2. 第二类换元法代换后忘记回代变量，分部积分法“选u”错误；3. 每天练3道不定积分、2道定积分题，结合2024数学一第15题（分部积分）、2023数学二第13题（对称区间积分），将解题步骤补充到笔记，强化计算熟练度。