考研数学高数笔记分享：导数与微分高频考点总结 订阅+ 进入阅读模式

导数与微分是高数的核心工具，贯穿积分、微分方程等后续章节，近5年真题中直接或间接考查占15-20分（如导数定义、切线方程、单调性证明）。整理笔记时需以“定义→计算→应用”为逻辑，重点标注公式推导与题型关联。

导数定义是基础，笔记中需记两个核心形式：1. 增量比极限：f’(x₀)=lim(Δx→0)[f(x₀+Δx)-f(x₀)]/Δx；2. 等价形式：f’(x₀)=lim(x→x₀)[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)。尤其注意“可导→连续，连续≠可导”的关系，例：f(x)=|x|在x=0处连续但不可导（左导数=-1，右导数=1），需在笔记中画函数图像辅助理解。

求导公式与法则是计算核心，需分类整理：1. 基本初等函数求导公式（如(sinx)’=cosx、(lnx)’=1/x、(e^x)’=e^x，建议用表格记，对比记忆）；2. 四则运算法则：(u±v)’=u’±v’、(uv)’=u’v+uv’、(u/v)’=(u’v-uv’)/v²（分母不为零）；3. 复合函数求导（“链式法则”）：若y=f(u)、u=g(x)，则y’=f’(u)·g’(x)，例：求y=sin(2x+1)的导数，设u=2x+1，y’=cosu·2=2cos(2x+1)，笔记中需标注“从外到内，逐层求导”；4. 隐函数求导（如x²+y²=1）：两边对x求导，含y的项乘y’，再解y’，得y’=-x/y；5. 参数方程求导（如x=φ(t)、y=ψ(t)）：dy/dx=(ψ’(t))/(φ’(t))，例：x=sint、y=cost，dy/dx=-sint/cost=-tant。

微分部分需明确“微分与导数的关系”：dy=f’(x)dx，即微分是导数与dx的乘积。微分的几何意义是“切线纵坐标的增量”，可用于近似计算，例：求√(1.02)的近似值，设f(x)=√x，x₀=1，Δx=0.02，f(1.02)≈f(1)+f’(1)Δx=1 + 0.5×0.02=1.01，笔记中需记录近似公式：f(x₀+Δx)≈f(x₀)+f’(x₀)Δx。

导数的应用是高频考点，需分模块记：1. 切线与法线方程：切线方程y-f(x₀)=f’(x₀)(x-x₀)，法线方程y-f(x₀)=-1/f’(x₀)(x-x₀)（f’(x₀)≠0），例：求y=x³在x=1处的切线，f(1)=1，f’(1)=3，切线方程y-1=3(x-1)；2. 单调性与极值：f’(x)>0→单调递增，f’(x)<0→单调递减，极值点需满足f’(x)=0且左右导数变号，例：f(x)=x³-3x，f’(x)=3x²-3，令f’(x)=0得x=±1，x<-1时f’(x)>0，-11时f’(x)>0，故x=-1是极大值点（f(-1)=2），x=1是极小值点（f(1)=-2）；3. 凹凸性与拐点：f'(x)>0→凹函数，f'(x)<0→凸函数，拐点是f'(x)=0且左右凹凸性变号的点。

复习建议：1. 每天花20分钟默写求导公式，避免记错；2. 针对隐函数、参数方程求导，各练5道典型题，补充到笔记；3. 结合2023数学三第7题（单调性证明）、2024数学二第10题（切线方程），将真题思路写在笔记对应考点下，强化应用能力。