考研数学高数笔记分享：函数与极限核心考点梳理 订阅+ 进入阅读模式

考研数学中高数占比极高（数学一/三占56%，数学二占78%），“函数与极限”作为开篇章节，是导数、积分的基础，也是近5年真题高频考点（每题4-10分）。整理笔记时建议先搭框架，再填细节，避免杂乱。

函数部分需重点记“三大要素”：定义域、对应法则、值域。定义域求解是基础题，笔记中要分类记典型场景：分式分母非零、偶次根式被开方数非负、对数真数大于零、反三角函数定义域限制（如arcsinx∈[-1,1]）。比如求f(x)=√(lnx-1)/(x-2)的定义域，步骤标注为：1. lnx-1≥0→x≥e；2. x-2≠0→x≠2；3. 综合得[e,+∞)。同时要总结幂函数、指数函数（y=e^x）、对数函数（y=lnx）的图像特征，尤其二者互为反函数的关系，后续极限计算会频繁用到。

极限部分是核心，需区分“数列极限”与“函数极限”。数列极限可简化记“ε-N语言”逻辑：“对任意ε>0，存在N，n>N时|x_n - A|<ε”，不用死记原文；函数极限分x→x₀和x→∞，重点标注x→x₀时“左/右极限”（如lim(x→0+)lnx=-∞，lim(x→0-)lnx无意义），判断极限存在需左=右，例：lim(x→1)|x-1|/(x-1)左=-1、右=1，故极限不存在。

极限计算方法按优先级记：1. 直接代入（函数连续时，如lim(x→2)(x²+3x)=10）；2. 四则运算（注意“有限项”前提）；3. 等价无穷小替换（x→0时sinx~x、ln(1+x)~x等，仅乘除可用，加减不可，例：lim(x→0)(tanx-sinx)/x³，需先化简为sinx(1-cosx)/cosx，再替换为x×(1/2)x²，得1/2）；4. 洛必达法则（“0/0”“∞/∞”型，需满足导数存在，例：lim(x→∞)(x+sinx)/x不可用洛必达，直接化简得1）；5. 夹逼准则（如lim(n→∞)(1+2+...+n)/n²=1/2）。

易错点要红笔标注：1. 混淆“极限存在”与“函数连续”（连续→极限存在，反之不成立）；2. 等价无穷小替换条件；3. x→±∞差异（如lim(x→+∞)e^x=+∞，lim(x→-∞)e^x=0）。复习建议：笔记留空白补新题，每周30分钟回顾，结合2024数学一第1题、数学二第3题等真题，补充解题思路，形成“考点-例题-真题”闭环。