考研笔记分享：线代线性方程组（解的判定+求解+应用） 订阅+ 进入阅读模式

线性方程组是考研线性代数的“核心应用”，所有线代知识点（行列式、矩阵、向量）最终都服务于方程组的求解，直接考查分值约15-20分（多为解答题，含参数分析与通解求解）。以下笔记聚焦“解的判定-求解步骤-综合应用”，确保考生掌握完整解题逻辑。

一、线性方程组的两种形式与核心概念

1. 基本形式：

- 非齐次线性方程组：Ax=b，其中A是m×n矩阵（系数矩阵），x=(x₁,x₂,…,xₙ)ᵀ（未知数向量），b=(b₁,b₂,…,bₘ)ᵀ（常数项向量，b≠0）；

- 齐次线性方程组：Ax=0（b=0的特殊情况），称为非齐次方程组Ax=b的“导出组”。

2. 解的相关概念：

- 解向量：满足方程组的x称为解向量；

- 通解：方程组所有解的一般表达式，由“特解+导出组的基础解系线性组合”构成（非齐次）或“基础解系线性组合”构成（齐次）；

- 基础解系：导出组Ax=0的一组线性无关的解向量，且方程组的所有解均可由这组向量线性表示，基础解系所含向量个数为n - r(A)（n是未知数个数，r(A)是系数矩阵的秩）。

二、解的判定定理：用“秩”判断解的存在性与唯一性

核心是比较“系数矩阵的秩r(A)”与“增广矩阵的秩r(A|b)”（非齐次），或仅用r(A)（齐次），具体判定规则如下表：

| 方程组类型 | 解的判定条件 | 解的情况 |

注：齐次方程组Ax=0一定有解（零解），故只需判断是否有非零解。

示例1：判断非齐次方程组Ax=b的解，A是3×4矩阵，r(A)=2，若r(A|b)=3，则r(A) < r(A|b)，方程组无解；若r(A|b)=2，则r(A)=r(A|b)=2 < 4（n=4），有无穷多解。

示例2：齐次方程组Ax=0，A是4×5矩阵，r(A)=3，则n - r(A)=5 - 3=2，故基础解系含2个线性无关的解向量，有无穷多非零解。

真题应用：2023年数一线代解答题第20题，给出含参数a的非齐次方程组，要求讨论a的取值与解的关系，需先计算r(A)和r(A|b)，再根据a的不同取值（使r(A)≠r(A|b)、r(A)=r(A|b)=n、r(A)=r(A|b)

三、方程组的求解步骤：从“初等行变换”到“通解”

求解的核心是“将增广矩阵（非齐次）或系数矩阵（齐次）通过初等行变换化为行阶梯形矩阵，进而化为行最简形矩阵”，行最简形矩阵可直接读出解的信息，具体步骤如下：

1. 齐次线性方程组Ax=0的求解步骤：

① 写出系数矩阵A，对A进行初等行变换，化为行最简形矩阵R；

② 由R确定r(A)=r，找出“自由未知数”（个数为n - r，通常选择非主元列对应的未知数，主元列是行最简形中首非零元所在的列）；

③ 令自由未知数分别取“单位坐标向量”（如自由未知数为x₃,x₄，可取(1,0)ᵀ和(0,1)ᵀ），代入R对应的方程，解出主元未知数，得到基础解系ξ₁,ξ₂,…,ξₙ₋ᵣ；

④ 通解为x=k₁ξ₁ + k₂ξ₂ + … + kₙ₋ᵣξₙ₋ᵣ（k₁,k₂,…,kₙ₋ᵣ为任意常数）。

示例：求解Ax=0，A=[1 2 2 0; 1 3 4 -2; 1 1 0 2]，对A做初等行变换：

第1行乘-1加到第2、3行，得[1 2 2 0; 0 1 2 -2; 0 -1 -2 2]；

第2行加到第3行，得[1 2 2 0; 0 1 2 -2; 0 0 0 0]（行阶梯形）；

第2行乘-2加到第1行，得[1 0 -2 4; 0 1 2 -2; 0 0 0 0]（行最简形）；

r(A)=2，n=4，自由未知数为x₃,x₄（非主元列2、3列？不，主元列是第1、2列，故非主元列是第3、4列，对应x₃,x₄）；

令x₃=1,x₄=0，代入方程：x₁ - 2*1 + 4*0=0 → x₁=2；x₂ + 2*1 - 2*0=0 → x₂=-2，得ξ₁=(2,-2,1,0)ᵀ；

令x₃=0,x₄=1，代入方程：x₁ - 2*0 + 4*1=0 → x₁=-4；x₂ + 2*0 - 2*1=0 → x₂=2，得ξ₂=(-4,2,0,1)ᵀ；

通解为x=k₁(2,-2,1,0)ᵀ + k₂(-4,2,0,1)ᵀ（k₁,k₂∈R）。

2. 非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

① 写出增广矩阵(A|b)，对其进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，判断解的情况（r(A)与r(A|b)），若无解则停止；

② 若有解，继续将行阶梯形化为行最简形矩阵R|b’；

③ 求一个特解η*：令所有自由未知数为0，代入R|b’对应的方程，解出主元未知数，得到η*；

④ 求导出组Ax=0的基础解系ξ₁,ξ₂,…,ξₙ₋ᵣ（方法同齐次方程组）；

⑤ 通解为x=η* + k₁ξ₁ + k₂ξ₂ + … + kₙ₋ᵣξₙ₋ᵣ（k₁,k₂,…,kₙ₋ᵣ为任意常数）。

示例：求解Ax=b，A同前，b=(1,3,-1)ᵀ，增广矩阵(A|b)=[1 2 2 0|1; 1 3 4 -2|3; 1 1 0 2|-1]；

初等行变换后化为行最简形：[1 0 -2 4| -3; 0 1 2 -2| 2; 0 0 0 0|0]（r(A)=r(A|b)=2 < 4，有无穷多解）；

求特解η*：令x₃=x₄=0，得x₁=-3，x₂=2，故η*=(-3,2,0,0)ᵀ；

导出组基础解系同前（ξ₁,ξ₂）；

通解为x=(-3,2,0,0)ᵀ + k₁(2,-2,1,0)ᵀ + k₂(-4,2,0,1)ᵀ（k₁,k₂∈R）。

四、含参数线性方程组的分析：分类讨论的核心逻辑

含参数（如a、b）的方程组是考研高频题型，关键是“通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形，根据参数的不同取值分析r(A)和r(A|b)的关系”，常见参数位置：系数矩阵A中或常数项b中，处理原则如下：

1. 若参数在系数矩阵的“主元可能位置”（如首行首列），需分“参数使主元为0”和“参数使主元不为0”两类讨论，避免直接除以含参数的项（可能为0，导致错误）；

2. 初等行变换时，仅用“换行、某行乘非零常数（常数不含参数）、某行乘k加到另一行”，避免将参数乘到其他行（增加计算复杂度）。

示例：讨论参数a为何值时，方程组Ax=b有唯一解、无解、有无穷多解，其中A=[1 1 1; 1 2 a; 1 4 a²]，b=[1; 2; a]；

第一步：计算系数矩阵的行列式|A|（先判断唯一解情况，因A是3×3方阵，唯一解等价于|A|≠0）；

|A|=|1 1 1; 1 2 a; 1 4 a²|是范德蒙行列式，值=(2-1)(a-1)(a-2)=(a-1)(a-2)；

② 当|A|≠0，即a≠1且a≠2时，r(A)=r(A|b)=3=n，方程组有唯一解；

③ 当a=1时，增广矩阵(A|b)=[1 1 1|1; 1 2 1|2; 1 4 1|1]，初等行变换后为[1 1 1|1; 0 1 0|1; 0 0 0| -2]，r(A)=2，r(A|b)=3，无解；

④ 当a=2时，增广矩阵(A|b)=[1 1 1|1; 1 2 2|2; 1 4 4|2]，初等行变换后为[1 1 1|1; 0 1 1|1; 0 0 0|0]，r(A)=r(A|b)=2 < 3，有无穷多解。

五、复习策略

1. 掌握“秩的计算”：秩是解的判定核心，需熟练通过初等行变换求矩阵的秩（行阶梯形中非零行的个数）；2. 规范求解步骤：无论是齐次还是非齐次方程组，严格按“化行最简形→找自由未知数→求基础解系/特解→写通解”的步骤书写，确保逻辑清晰；3. 强化参数讨论：针对含参数方程组，多练习“分情况讨论”的题型，总结参数位置与讨论节点的关系，避免遗漏或重复讨论；4. 结合向量理解：方程组的解与向量的线性表示、线性相关性密切相关（如Ax=b有解等价于b可由A的列向量线性表示），可通过向量视角加深对解的本质理解，提升综合解题能力。