考研笔记分享：线代行列式与矩阵（定义+计算+性质） 订阅+ 进入阅读模式

行列式与矩阵是考研线性代数的“基石”，行列式是后续求矩阵秩、可逆性的工具，矩阵则贯穿线代全册（线性方程组、二次型等均以矩阵为载体），直接考查分值约15-20分（含选择、填空、解答题）。以下笔记按“行列式-矩阵”逻辑梳理，聚焦高频考点与计算技巧。

一、行列式：从“二阶”到“n阶”的计算逻辑

1. 行列式的定义：二阶行列式|a b; c d|=ad - bc，三阶行列式可按“对角线法则”计算，但n阶行列式（n≥4）需用定义或性质计算，核心定义是“所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和”，即D=Σ（j₁j₂…jₙ）(-1)^τ(j₁j₂…jₙ) a₁j₁a₂j₂…aₙjₙ，其中τ(j₁j₂…jₙ)是排列j₁j₂…jₙ的逆序数。定义虽少直接考查，但理解定义是掌握性质的关键。

2. 行列式的核心性质（用于简化计算）：

- 性质1：行列式与它的转置行列式相等（D=Dᵀ），即行与列的地位等价，可通过“换行”或“换列”简化计算。

- 性质2：交换行列式的两行（列），行列式变号；若两行（列）完全相同，行列式为0（交换后D=-D，故D=0）。

- 性质3：行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用k乘此行列式（可提取某行/列公因子，如某行全为k倍元素，可将k提到行列式外）。

- 性质4：行列式中若有两行（列）元素成比例，则行列式为0（由性质2和3推导，成比例即一行是另一行的k倍，提取k后两行相同，行列式为0）。

- 性质5：若行列式的某一行（列）元素都是两数之和，则行列式可拆分为两个行列式之和（如第i行aᵢⱼ + bᵢⱼ，可拆为D₁（第i行为aᵢⱼ）+ D₂（第i行为bᵢⱼ），其余行不变）。

- 性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数k后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变（最常用的性质，用于将行列式化为“上三角”或“下三角”）。

3. n阶行列式的高频计算方法：

① 上三角/下三角行列式：主对角线以下（上）的元素全为0，行列式值等于主对角线元素的乘积，即|a₁₁ a₁₂…a₁ₙ; 0 a₂₂…a₂ₙ; …; 0 0…aₙₙ|=a₁₁a₂₂…aₙₙ。计算n阶行列式的核心思路是“用性质6化为上三角/下三角”，例如计算4阶行列式D=|1 2 3 4; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3|，步骤：先将第2-4行均加到第1行，提取第1行公因子10，得10*|1 1 1 1; 2 3 4 1; 3 4 1 2; 4 1 2 3|；再用第1行乘-2、-3、-4分别加到第2、3、4行，化为上三角雏形：10*|1 1 1 1; 0 1 2 -1; 0 1 -2 -1; 0 -3 -2 -1|；继续用第2行乘-1、3分别加到第3、4行，得10*|1 1 1 1; 0 1 2 -1; 0 0 -4 0; 0 0 4 -4|；最后用第3行乘1加到第4行，得10*|1 1 1 1; 0 1 2 -1; 0 0 -4 0; 0 0 0 -4|，上三角行列式值为1*1*(-4)*(-4)=16，故D=10*16=160。

② 按行（列）展开定理：n阶行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D=aᵢ₁Aᵢ₁ + aᵢ₂Aᵢ₂ + … + aᵢₙAᵢₙ（i=1,2,…,n），其中Aᵢⱼ=(-1)^(i+j)Mᵢⱼ（Mᵢⱼ是元素aᵢⱼ的余子式，即划去第i行第j列后剩余元素构成的n-1阶行列式）。该定理适用于“某行/列含多个0”的行列式，可减少计算量，例如计算D=|1 0 2 0; 3 4 5 6; 7 0 8 0; 9 10 11 12|，按第2列展开（含2个0），D=0*A₁₂ + 4*A₂₂ + 0*A₃₂ + 10*A₄₂=4*(-1)^(2+2)M₂₂ + 10*(-1)^(4+2)M₄₂=4*|1 2 0; 7 8 0; 9 11 12| + 10*|1 2 0; 3 5 6; 7 8 0|，再分别计算两个3阶行列式（按第3列展开），得4*(12*|1 2;7 8|) + 10*(6*(-1)^(2+3)|1 2;7 8|)=4*(12*(8-14)) + 10*(6*(-(8-14)))=4*(12*(-6)) + 10*(6*6)= -288 + 360=72。

③ 范德蒙行列式：形如|1 x₁ x₁²…x₁ⁿ⁻¹; 1 x₂ x₂²…x₂ⁿ⁻¹; …; 1 xₙ xₙ²…xₙⁿ⁻¹|=Π（1≤j

二、矩阵：运算规则与核心概念

1. 矩阵的定义：由m×n个数aᵢⱼ（i=1,…,m；j=1,…,n）排成的m行n列的数表，记为A=(aᵢⱼ)ₘ×ₙ，特殊矩阵需掌握：① 零矩阵O（所有元素为0）；② 单位矩阵E（主对角线元素为1，其余为0，记为Eₙ或E）；③ 对角矩阵Λ（非主对角线元素为0，记为diag(λ₁,λ₂,…,λₙ)）；④ 对称矩阵（Aᵀ=A，即aᵢⱼ=aⱼᵢ）；⑤ 反对称矩阵（Aᵀ=-A，即aᵢⱼ=-aⱼᵢ，且主对角线元素为0）。

2. 矩阵的5大运算（规则是关键，易出错）：

① 矩阵加法：仅当A与B是同型矩阵（行数、列数相同）时可加，和矩阵C=A+B的元素cᵢⱼ=aᵢⱼ + bᵢⱼ，满足交换律（A+B=B+A）和结合律（(A+B)+C=A+(B+C)）。

② 数乘矩阵：kA的元素为k aᵢⱼ，满足分配律（k(A+B)=kA + kB；(k+l)A=kA + lA）和结合律（k(lA)=(kl)A）。

③ 矩阵乘法：仅当A的列数等于B的行数（A是m×s矩阵，B是s×n矩阵）时可乘，乘积C=AB是m×n矩阵，元素cᵢⱼ=Σ（k=1到s）aᵢₖbₖⱼ（第i行乘第j列对应元素之和）。需注意：矩阵乘法不满足交换律（AB≠BA，甚至BA可能无意义）；若AB=O，不能推出A=O或B=O（如A=[1 0; 0 0]，B=[0 0; 0 1]，AB=O，但A、B均非零）；满足结合律（(AB)C=A(BC)）和分配律（A(B+C)=AB + AC；(B+C)A=BA + CA）。

示例：A=[1 2; 3 4]（2×2），B=[5 6; 7 8]（2×2），则AB=[1*5+2*7 1*6+2*8; 3*5+4*7 3*6+4*8]=[5+14 6+16; 15+28 18+32]=[19 22; 43 50]，BA=[5*1+6*3 5*2+6*4; 7*1+8*3 7*2+8*4]=[5+18 10+24; 7+24 14+32]=[23 34; 31 46]，显然AB≠BA。

④ 矩阵转置：将A的行与列互换，得到Aᵀ（m×n矩阵的转置是n×m矩阵），满足性质：(Aᵀ)ᵀ=A；(A+B)ᵀ=Aᵀ + Bᵀ；(kA)ᵀ=kAᵀ；(AB)ᵀ=BᵀAᵀ（核心性质，易考查）。

⑤ 方阵的行列式：仅方阵（m=n）有行列式，记为|A|或detA，满足性质：|Aᵀ|=|A|；|kA|=kⁿ|A|（n是方阵阶数，区别于数乘行列式的性质）；|AB|=|A||B|（核心性质，即乘积的行列式等于行列式的乘积，可推广到多个方阵：|A₁A₂…Aₖ|=|A₁||A₂|…|Aₖ|）。例如，A是3阶方阵，|A|=2，则|2A|=2³*2=16；若B是3阶方阵，|B|=3，则|AB|=2*3=6。

3. 可逆矩阵（非奇异矩阵）：

① 定义：若存在方阵B，使得AB=BA=E，则A可逆，B是A的逆矩阵，记为A⁻¹（逆矩阵唯一）。

② 可逆的充要条件：n阶方阵A可逆 ⇨ |A|≠0（核心判定条件）；也可通过“秩r(A)=n”或“Ax=0只有零解”判定，但|A|≠0是最直接的方法。

③ 逆矩阵的求法：

- 伴随矩阵法：A⁻¹=(1/|A|)A*，其中A*是A的伴随矩阵，元素A*ᵢⱼ=Aⱼᵢ（即A*的第i行第j列元素是A的第j行第i列元素的代数余子式）。适用于2阶或低阶方阵，例如A=[a b; c d]，|A|=ad - bc≠0，则A*=[d -b; -c a]，A⁻¹=(1/(ad - bc))[d -b; -c a]。

- 初等行变换法：对增广矩阵[A | E]进行初等行变换，当A化为E时，E化为A⁻¹，即[A | E] →（初等行变换）[E | A⁻¹]。适用于3阶及以上方阵，是考研高频方法，需熟练掌握初等行变换（换行、某行乘非零数、某行乘k加到另一行）。

示例：求A=[1 2 3; 2 2 1; 3 4 3]的逆矩阵，构造增广矩阵[A|E]=[1 2 3|1 0 0; 2 2 1|0 1 0; 3 4 3|0 0 1]；第1行乘-2、-3分别加到第2、3行，得[1 2 3|1 0 0; 0 -2 -5|-2 1 0; 0 -2 -6|-3 0 1]；第2行乘-1加到第3行，得[1 2 3|1 0 0; 0 -2 -5|-2 1 0; 0 0 -1|-1 -1 1]；第3行乘-1，得[1 2 3|1 0 0; 0 -2 -5|-2 1 0; 0 0 1|1 1 -1]；第3行乘5加到第2行，乘-3加到第1行，得[1 2 0|-2 -3 3; 0 -2 0|3 6 -5; 0 0 1|1 1 -1]；第2行乘-1/2，得[1 2 0|-2 -3 3; 0 1 0|-3/2 -3 5/2; 0 0 1|1 1 -1]；第2行乘-2加到第1行，得[1 0 0|1 3 -2; 0 1 0|-3/2 -3 5/2; 0 0 1|1 1 -1]，故A⁻¹=[1 3 -2; -3/2 -3 5/2; 1 1 -1]（可验证AA⁻¹=E）。

三、复习建议

1. 行列式：重点练习“化为上三角”和“按行/列展开”，每天1-2道n阶行列式计算题，熟悉性质的应用；2. 矩阵运算：核心是“记规则、避陷阱”，尤其是矩阵乘法的非交换性和数乘方阵行列式的kⁿ因子，可通过对比“数的运算”和“矩阵运算”的差异加深记忆；3. 可逆矩阵：掌握“判定（|A|≠0）+ 求法（初等行变换法为主）”，结合真题练习“求逆矩阵”和“利用逆矩阵解矩阵方程（如AX=B，X=A⁻¹B）”，确保计算准确。