考研笔记分享：高数积分学（不定积分+定积分+应用） 订阅+ 进入阅读模式

积分学是考研高数的“重头戏”，涵盖不定积分（基础）、定积分（核心）及应用（综合），直接考查分值约25-30分（含选择题、填空题、解答题），且是微分方程、概率论等章节的基础。以下笔记按“基础-计算-应用”逻辑梳理，适合分阶段复习。

一、不定积分：求“原函数”的核心方法

不定积分的本质是“求导的逆运算”，即若F’(x)=f(x)，则∫f(x)dx=F(x)+C（C为常数），核心是掌握各类函数的积分方法，以下是10大高频积分法及适用场景：

1. 基本积分公式：从基本求导公式逆推而来，需熟记，如∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C（n≠-1）、∫sinxdx=-cosx+C、∫eˣdx=eˣ+C、∫1/xdx=ln|x|+C，这是所有积分的基础，建议每天默写巩固。

2. 第一类换元法（凑微分法）：适用于“被积函数可拆为f(φ(x))·φ’(x)”的形式，核心是“凑出φ’(x)dx=dφ(x)”，将积分转化为∫f(u)du（u=φ(x)）。高频凑微分公式：① dx=(1/a)d(ax+b)（如∫sin(2x+3)dx=(1/2)∫sin(2x+3)d(2x+3)）；② xdx=(1/2)d(x²)（如∫x eˣ²dx=(1/2)∫eˣ²d(x²)）；③ 1/x²dx=-d(1/x)（如∫1/x² e^(1/x)dx=-∫e^(1/x)d(1/x)）。

3. 第二类换元法：适用于含“根号”的积分，通过换元消去根号，常见类型：① 含√(a² - x²)，令x=a sin t（t∈[-π/2,π/2]）；② 含√(a² + x²)，令x=a tan t（t∈(-π/2,π/2)）；③ 含√(x² - a²)，令x=a sec t（t∈[0,π/2)∪(π/2,π]）；④ 含√(ax+b)，令t=√(ax+b)（有理代换）。例如，求∫√(4 - x²)dx，令x=2 sin t，dx=2 cos t dt，√(4 - x²)=2 cos t，积分变为∫2 cos t · 2 cos t dt=4∫cos²t dt=4*(t/2 + (sin2t)/4)+C=2t + 2 sin t cos t + C，再回代t=arcsin(x/2)、sin t=x/2、cos t=√(4 - x²)/2，得2 arcsin(x/2) + (x√(4 - x²))/2 + C。

4. 分部积分法：适用于“被积函数为两类不同函数乘积”的情况，公式为∫u dv = uv - ∫v du，核心是“选对u和dv”，优先级：反三角函数（如arcsinx）、对数函数（如lnx）> 幂函数（如xⁿ）> 指数函数（如eˣ）> 三角函数（如sinx）。例如，求∫x lnxdx，选u=lnx（优先级高）、dv=x dx，则du=(1/x)dx、v=x²/2，代入公式得(lnx · x²)/2 - ∫(x²/2)·(1/x)dx=(x² lnx)/2 - (1/2)∫x dx=(x² lnx)/2 - x²/4 + C。

5. 有理函数积分：被积函数为“多项式/多项式”，步骤：① 因式分解分母（一次因式、不可约二次因式）；② 拆分为部分分式（如1/[(x-1)(x+2)]=A/(x-1)+B/(x+2)）；③ 分别积分。这类积分计算量大，但方法固定，需耐心计算，避免系数求解错误。

此外，还有三角函数积分（如∫sinⁿx cosᵐx dx，按n、m奇偶性处理）、无理函数积分（除根号换元外，可通过有理化转化）等，需结合具体题型练习。

二、定积分：从“和的极限”到计算技巧

1. 定积分性质：重点掌握① 区间可加性：∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx；② 奇偶性：若f(x)是奇函数，∫(-a,a)f(x)dx=0；若f(x)是偶函数，∫(-a,a)f(x)dx=2∫(0,a)f(x)dx；③ 估值定理：m(b-a)≤∫(a,b)f(x)dx≤M(b-a)（m、M是f(x)在[a,b]上的最小值、最大值）。这些性质常用来简化计算或判断积分大小，如2022年数二真题第5题，利用奇偶性直接得出∫(-π/2,π/2)x sinx dx=2∫(0,π/2)x sinx dx，简化计算。

2. 定积分计算：核心是“牛顿-莱布尼茨公式”：若F(x)是f(x)的原函数，则∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)，计算时需结合不定积分的方法，同时注意“换元必换限”（第二类换元法）和“分部积分公式调整”（∫(a,b)u dv=uv|(a,b)-∫(a,b)v du）。例如，求∫(0,1)x eˣ dx，用分部积分法，u=x、dv=eˣ dx，du=dx、v=eˣ，得x eˣ|(0,1) - ∫(0,1)eˣ dx=(e - 0) - (eˣ|(0,1))=e - (e - 1)=1。

3. 反常积分：需区分“无穷限反常积分”（如∫(a,+∞)f(x)dx=lim(t→+∞)∫(a,t)f(x)dx）和“无界函数反常积分”（如∫(a,b)f(x)dx，f(x)在x=a处无界，即lim(t→a⁺)∫(t,b)f(x)dx），计算时需先判断收敛性，再计算极限。例如，∫(1,+∞)1/x² dx=lim(t→+∞)∫(1,t)1/x² dx=lim(t→+∞)(-1/x)|(1,t)=lim(t→+∞)(-1/t + 1)=1，收敛；而∫(0,1)1/√x dx=lim(t→0⁺)∫(t,1)x^(-1/2)dx=lim(t→0⁺)(2√x)|(t,1)=lim(t→0⁺)(2 - 2√t)=2，收敛。

三、积分的几何应用：从“公式”到“建模”

积分在几何中的应用是解答题高频考点，需掌握“微元法”思想（分割、近似、求和、取极限），核心是建立正确的积分表达式，以下是4类高频应用：

1. 平面图形的面积：① 直角坐标系下，由y=f(x)、y=g(x)（f(x)≥g(x)）、x=a、x=b围成的面积S=∫(a,b)[f(x)-g(x)]dx；② 极坐标系下，由r=r(θ)、θ=α、θ=β围成的面积S=(1/2)∫(α,β)r²(θ)dθ。例如，求由y=x²和y=√x围成的面积，先求交点（0,0）和（1,1），因√x≥x²（x∈[0,1]），故S=∫(0,1)(√x - x²)dx=(2/3 x^(3/2) - 1/3 x³)|(0,1)=2/3 - 1/3=1/3。

2. 旋转体的体积：① 绕x轴旋转，由y=f(x)、x=a、x=b围成的体积V=π∫(a,b)f²(x)dx；② 绕y轴旋转，用“壳层法”V=2π∫(a,b)x f(x)dx（更简便）或“圆盘法”V=π∫(c,d)x²(y)dy。例如，求由y=x²、x=1、y=0围成的图形绕y轴旋转的体积，用壳层法，V=2π∫(0,1)x · x² dx=2π∫(0,1)x³ dx=2π*(1/4 x⁴)|(0,1)=π/2。

3. 平面曲线的弧长：① 直角坐标系下，y=f(x)（x∈[a,b]）的弧长L=∫(a,b)√(1 + [f’(x)]²)dx；② 参数方程下，x=φ(t)、y=ψ(t)（t∈[α,β]）的弧长L=∫(α,β)√([φ’(t)]² + [ψ’(t)]²)dt。例如，求y=lnx从x=1到x=√3的弧长，f’(x)=1/x，故L=∫(1,√3)√(1 + 1/x²)dx=∫(1,√3)√(x² + 1)/x dx，令t=√(x² + 1)，x=√(t² - 1)，dx=t/√(t² - 1)dt，积分变为∫(√2,2)t / √(t² - 1) * t / √(t² - 1)dt=∫(√2,2)t²/(t² - 1)dt=∫(√2,2)[1 + 1/(t² - 1)]dt=∫(√2,2)1dt + (1/2)∫(√2,2)[1/(t-1) - 1/(t+1)]dt=(2 - √2) + (1/2)[ln|t-1| - ln|t+1|]|(√2,2)=(2 - √2) + (1/2)(ln1 - ln3 - ln(√2 - 1) + ln(√2 + 1))=(2 - √2) + (1/2)(ln[(√2 + 1)/(√2 - 1)] - ln3)，化简(√2 + 1)/(√2 - 1)=3 + 2√2，故最终结果为2 - √2 + (1/2)ln(3 + 2√2) - (1/2)ln3。

4. 旋转体的侧面积：绕x轴旋转，y=f(x)（x∈[a,b]，f(x)≥0）的侧面积S=2π∫(a,b)f(x)√(1 + [f’(x)]²)dx，需注意与体积公式的区别（侧面积含√(1 + [f’(x)]²)，体积含f²(x)）。

四、复习策略

1. 不定积分：以“方法+题型”为核心，每种方法对应3-5道典型题，总结适用场景（如看到根号优先考虑换元法）；2. 定积分：重点练习“性质应用”和“反常积分”，避免因忽视收敛性导致错误；3. 应用类题目：先理解“微元法”思想，再记忆公式，最后通过真题练习“建模能力”（如何将几何问题转化为积分表达式），建议每周练2-3道综合应用题，提升解题熟练度。