考研笔记分享：高数导数与微分（定义+求导公式+应用） 订阅+ 进入阅读模式

导数与微分是考研高数的核心章节，不仅直接考查求导计算（约5-10分），还为后续积分、微分方程及专业课（如物理、经济学）奠定基础，同时导数的应用（单调性、极值、凹凸性）是解答题高频考点（每年约10-15分）。以下是分模块整理的复习笔记，适合各阶段使用。

一、导数定义：从“瞬时变化率”到数学表达

1. 导数的几何意义：函数y=f(x)在x₀处的导数f’(x₀)，是曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处切线的斜率，切线方程为y - f(x₀) = f’(x₀)(x - x₀)，法线方程为y - f(x₀) = -1/f’(x₀)(x - x₀)（f’(x₀)≠0）。该考点常结合切线/法线方程考查，如2024年数三真题第2题，已知f(x)在x=1处的导数为2，求切线方程，直接代入公式即可。

2. 导数定义式：核心记住两种形式：① f’(x₀) = lim(Δx→0)[f(x₀+Δx) - f(x₀)]/Δx；② f’(x₀) = lim(x→x₀)[f(x) - f(x₀)]/(x - x₀)。定义式的考查多集中在“分段函数在分界点的可导性判断”，需同时满足“连续”（可导必连续）和“左导数=右导数”两个条件。

示例：判断f(x) = {x², x≥0；-x², x<0}在x=0处的可导性。首先，lim(x→0⁺)f(x)=0，lim(x→0⁻)f(x)=0，f(0)=0，故连续；左导数f’₋(0)=lim(x→0⁻)[-x² - 0]/(x - 0)=lim(-x)=0，右导数f’₊(0)=lim(x→0⁺)[x² - 0]/(x - 0)=limx=0，左导=右导，故可导，且f’(0)=0。

二、常用求导方法与公式（按函数类型分类）

1. 基本初等函数求导公式：需熟记，如(c)’=0（c为常数）、(xⁿ)’=n xⁿ⁻¹、(sinx)’=cosx、(cosx)’=-sinx、(eˣ)’=eˣ、(lnx)’=1/x，这些是所有求导的基础，建议每天花5分钟默写1次，确保不丢基础分。

2. 复合函数求导（链式法则）：若y=f(u)，u=g(x)，则y’ₓ = y’ᵤ * u’ₓ，关键是“分层求导，层层相乘”，避免漏层。例如，求y=sin(eˣ²)的导数，先设u=eˣ²（外层y=sinu），再设v=x²（内层u=eᵛ），则y’=cosu * eᵛ * 2x = cos(eˣ²) * eˣ² * 2x。

3. 隐函数求导：方程F(x,y)=0确定的y=y(x)，求导时需对等式两边同时对x求导，将y视为x的函数，含y的项用链式法则，最后解出y’。例如，求x² + y² = 4在(√2,√2)处的导数，两边对x求导得2x + 2y * y’ = 0，解得y’ = -x/y，代入(√2,√2)得y’=-1。

4. 参数方程求导：若x=φ(t)，y=ψ(t)，则dy/dx = (ψ’(t))/(φ’(t))，二阶导数d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] / φ’(t)。该考点多在填空题或解答题中考查，需注意二阶导数的计算步骤，避免直接对dy/dx求导（需先对t求导，再除以φ’(t)）。

5. 高阶导数：重点掌握常见函数的n阶导数公式，如(eˣ)⁽ⁿ⁾=eˣ、(sinx)⁽ⁿ⁾=sin(x + nπ/2)、(ln(1+x))⁽ⁿ⁾=(-1)ⁿ⁻¹ (n-1)! / (1+x)ⁿ，其他函数可通过“归纳法”或“莱布尼茨公式”（uv）⁽ⁿ⁾=Σ（k=0到n）Cₙᵏ u⁽ᵏ⁾ v⁽ⁿ⁻ᵏ⁾）计算，例如求y=x² eˣ的n阶导数，用莱布尼茨公式，u=x²（三阶及以上导数为0），v=eˣ，故y⁽ⁿ⁾=Cₙ⁰ x² eˣ + Cₙ¹ 2x eˣ + Cₙ² 2 eˣ = eˣ(x² + 2n x + n(n-1))。

三、导数的三大核心应用

1. 函数单调性判断：若在区间I内f’(x) > 0，则f(x)在I内单调递增；若f’(x) < 0，则单调递减。步骤：①求定义域；②求f’(x)，找驻点（f’(x)=0的点）和不可导点；③用这些点划分定义域为子区间，判断每个子区间内f’(x)的符号；④得出单调性结论。例如，求f(x)=x³ - 3x的单调区间，定义域为R，f’(x)=3x² - 3=3(x-1)(x+1)，驻点x=-1、x=1，划分区间(-∞,-1)、(-1,1)、(1,+∞)，分别判断f’(x)符号为正、负、正，故f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)单调递增，在(-1,1)单调递减。

2. 函数极值求解：极值是局部最值，步骤：①求驻点和不可导点；②用“第一充分条件”（判断点两侧导数符号是否变化，左正右负为极大值，左负右正为极小值）或“第二充分条件”（若f’(x₀)=0且f'(x₀)≠0，f'(x₀)<0为极大值，f'(x₀)>0为极小值）判断。例如，对f(x)=x³ - 3x，驻点x=-1、x=1，f'(x)=6x，f'(-1)=-6<0（极大值点，极大值f(-1)=2），f'(1)=6>0（极小值点，极小值f(1)=-2）。

3. 函数凹凸性与拐点：凹凸性由二阶导数判断，若在区间I内f'(x) > 0，则f(x)在I内凹（下凸）；若f'(x) < 0，则凸（上凸）；拐点是凹凸性发生变化的点（需f'(x₀)=0或f'(x₀)不存在，且两侧f'(x)符号变化）。例如，求f(x)=x⁴ - 2x³ + 1的凹凸区间与拐点，f’(x)=4x³ - 6x²，f'(x)=12x² - 12x=12x(x-1)，令f'(x)=0得x=0、x=1，划分区间(-∞,0)（f'(x)>0，凹）、(0,1)（f'(x)<0，凸）、(1,+∞)（f'(x)>0，凹），故拐点为(0,1)和(1,0)。

四、复习建议

1. 求导计算需“稳”：每天练5-10道不同类型的求导题（复合、隐函数、参数方程），避免计算错误；2. 应用类题目需“步骤规范”：如单调性、极值题，严格按“定义域→求导→找关键点→判断符号→结论”的步骤书写，确保逻辑清晰；3. 结合真题总结规律：近10年真题中，导数应用多与不等式证明、函数最值结合，可针对性练习这类综合题，提升解题能力。