考研笔记分享：高数函数极限模块（高频考点+解题技巧） 订阅+ 进入阅读模式

考研高数中，函数极限是第一章核心内容，也是后续导数、积分学习的基础，每年真题中直接或间接考查分值约10-15分，必须重点掌握。以下是整理的高频考点及解题技巧笔记，适合基础阶段夯实与强化阶段复盘。

一、核心考点梳理

1. 极限定义：需牢记“ε-δ”语言（函数极限）与“ε-N”语言（数列极限），虽直接考查定义证明的概率较低，但理解定义是掌握后续性质的关键。例如，当x→x₀时f(x)→A的定义，本质是“x无限接近x₀时，f(x)与A的距离可任意小”，可结合数轴理解“无限接近”的数学表达。

2. 极限性质：重点掌握唯一性（极限若存在则唯一）、局部有界性（极限存在则函数在x₀某邻域内有界）、局部保号性（若极限A>0，则x₀某邻域内f(x)>0），这三类性质常作为选择题选项或证明题辅助条件，比如2023年数二真题第4题就考查了局部保号性的应用。

二、常用解题方法（按优先级排序）

1. 等价无穷小替换：适用于“0/0”“∞/∞”型极限，是最快捷的方法之一，但需严格遵守“乘除可换、加减慎换”原则。高频等价无穷小需熟记：当x→0时，sinx~x、tanx~x、ln(1+x)~x、eˣ-1~x、(1+x)ᵃ-1~ax（a为常数），此外还要注意复合形式，如sin(2x)~2x（x→0时）、ln(1+3x²)~3x²（x→0时）。

示例：求lim(x→0)[tan(2x)-sinx]/x，若直接替换tan(2x)~2x、sinx~x，得(2x - x)/x = 1，结果正确；但若遇到lim(x→0)(sinx - tanx)/x³，直接替换会得0，错误，需先通分再用等价无穷小或泰勒公式，正确步骤为：sinx - tanx = tanx(cosx - 1) ~ x*(-x²/2) = -x³/2，故极限为-1/2。

2. 洛必达法则：同样适用于“0/0”“∞/∞”型，使用前需满足三个条件（分子分母可导、导数比值极限存在或为∞）。需注意：洛必达法则并非万能，若多次使用后极限仍未求出，需换方法（如等价无穷小、泰勒）。例如，lim(x→+∞)(x + sinx)/x，若用洛必达法则，得lim(1 + cosx)，该极限不存在（振荡），但原极限实际为1（因sinx/x→0），此时洛必达法则不适用。

3. 泰勒公式：适用于复杂函数（如eˣ、ln(1+x)、sinx）的极限计算，尤其是“0/0”型且等价无穷小无法直接替换的情况。高频泰勒展开式（x→0时，展开到x³项即可满足多数真题需求）：eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + o(x³)；ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 + o(x³)；sinx = x - x³/6 + o(x³)。

示例：求lim(x→0)(eˣ - 1 - x - x²/2)/x³，直接用泰勒展开eˣ，得(1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³) - 1 - x - x²/2)/x³ = (x³/6 + o(x³))/x³ = 1/6，步骤简洁且不易出错。

三、易错点提醒

1. 等价无穷小替换条件混淆：务必记住“只有乘除运算中可替换，加减运算中替换需满足‘替换后两项极限均存在且不为相反数’”，否则易出错，如前文提到的(sinx - tanx)/x³案例。

2. 忽视极限存在的前提：计算分段函数在分界点的极限时，需分别计算左极限与右极限，只有左、右极限都存在且相等，整体极限才存在。例如，f(x) = |x|/x，x→0时左极限为-1，右极限为1，故极限不存在。

3. 数列极限用洛必达法则：数列是离散函数，不可直接用洛必达法则（需连续可导），需先将n换成x（x→+∞），用洛必达求出函数极限后，再利用“函数极限存在则数列极限存在且相等”的结论，例如求lim(n→∞)n*ln(1 + 1/n)，可先求lim(x→+∞)x*ln(1 + 1/x) = lim ln(1 + 1/x)^x = lne = 1，故数列极限为1。

四、笔记使用建议

1. 结合教材（如同济版《高等数学》）梳理定义，先理解再记忆性质；2. 每类解题方法搭配3-5道真题（优先近10年真题）练习，总结适用场景；3. 建立“错题本”，将易错点标注在错题旁，定期复盘（建议每周1次），避免重复出错。